USD/TRY FX Opsiyonlarının Stokastik Faizler Altında Fiyatlanması

1. Giriş

FX opsiyon fiyatlamasında yaygın başlangıç noktası, sabit yerel ve yabancı faizler altında Garman–Kohlhagen (GK)modelidir. GK, Black–Scholes’un FX’e uyarlanmış biçimi olarak, spotun lognormal dinamiği ve sabit volatilite varsayımıyla tek rastgelelik kaynağı olarak döviz kurunu dikkate alır. Ancak gerçek dünyada kısa vadeli faizler, para politikası rejimleri, enflasyon görünümü ve küresel finansal koşullar ile belirgin biçimde zamanla değişir. USD/TRY özelinde, son yıllarda para politikası değişimleri, risk iştahındaki dalgalanmalar ve yerel faizlerdeki yüksek düzeyler/dalgalanma, sabit faiz varsayımının yeterliliğini sorgulatmaktadır.

Bu çalışma, USD/TRY opsiyonlarının değerlemesinde stokastik kısa vadeli faizlerin rolünü nicel olarak ortaya koyar: GK’ye göre ne kadar ve hangi şartlarda farklılaşma görülür? Özellikle vade uzadıkça iskonto ve efektif forward kanalının birikimli etkileri ne ölçüde fiyatlara yansır? Bulgular, hem model seçimi (hangi durumlarda GK yeterli, hangi durumlarda değil) hem de raporlama (yüzde farklar yerine düzey farklarının ve güven aralıklarının vurgulanması) açısından pratik içerimler taşır.

2. Metodoloji ve Veri

2.1 Veri ve Ön İşleme

• Dönem: 13.04.2017 – 23.07.2025 (günlük).

• Kısa faiz serileri: TRY için TLREF, USD için 3M T‑Bill.

• FX volatilitesi: USD/TRY günlük log getirilerinden.

• Ön işleme: Tarih standardizasyonu (gün‑önce), tekrarlı gözlemlerin elenmesi, % değerlerin 0–1 aralığına çevrilmesi (yüzdeden ondalığa bölme).

2.2 Tahmin (Vasicek Parametreleri)

İki adım kullanılır: (i) AR(1) formunda OLS başlangıcı, (ii) exact transition yoğunluğuna dayalı MLE. Nihai tahminler (yıllıklaştırılmış):

• TRY: κ_d ≈ 2.205, θ_d ≈ 0.247, σ_d ≈ 0.295

• USD: κ_f​ ≈ 0.0885, θ_f ​≈ 0.0633, σ_f ≈ 0.0050
  Yorum: TRY tarafı daha hızlı ortalamaya dönüş, daha yüksek uzun dönem düzeyi ve çok daha yüksek oynaklık sergiler. USD kısa faizi ise düşük oynak ve yavaş dönüşlü bir rejimdedir.

2.3 Korelasyonların Tahmini

Standartlaştırılmış Vasicek artıklarından (TRY ve USD) ve FX log getirilerinden günlük eş anlı korelasyonlar:

• Corr(ε̂_TRY, ε̂_USD) ≈ −0.013,

• Corr(ε̂_TRY, r_FX) ≈ −0.040,

• Corr(ε̂_USD, r_FX) ≈ +0.008.
  Yorum: Günlük frekansta korelasyonlar ihmal edilebilir düzeydedir; bu da spot hareketlerinin aynı günkü para piyasası şoklarından büyük ölçüde bağımsız olduğunu ima eder.

2.4 Monte Carlo Düzeni ve Varyans Azaltma

• Zaman adımı: Günlük; tam geçiş ile kısa faiz simülasyonu.

• Korelasyon: Σ için Cholesky ayrıştırması.

• Kontrol varyatı: GK kapalı formülü (başlangıç forward’ı, Vasicek tahvil fiyatları ile tutarlı).

• Yollar: M büyük; raporlanan ızgaralarda 100.000 yol düzeyinde çalışan deneyler.

• Çıktılar: Nokta tahminleri, MC standart hataları (SE), Göreli SE ve %95 Güven Aralıkları.

3. Bulgular

3.1 Kalibrasyonun Özeti

TRY ve USD için elde edilen κ,θ,σ değerleri, yüksek ve oynak TRY ile düşük oynak USD ayrımını netleştirir. Bu farklılık, iskonto faktörü dinamiklerinde asimetri doğurur; TRY tarafındaki büyük oynaklık ve yüksek düzey, iskonto konveksliğini (Jensen) ve kovaryans kanalını güçlendirir.

3.2 Call Fiyatları (GK vs. Vasicek)

• Kısa vade (1 ay): ATM civarında Vasicek ≈ −%2 ila −%5 daha düşüktür.

• 3–6 ay: Fark ≈ −%8 ila −%33 bandına genişler (ATM 6 ayda ≈ −%16 düzeyi örnektir).

• 1 yıl: −%25 (ATM) ile −%48 (paradan uzak) aralığına kadar monoton artış gözlenir.

Yorum: Vade uzadıkça, iskonto–ödeme kovaryansı call tarafında büyüyen negatif katkı üretir; Jensen etkisi tek başına fiyatı yükseltebilecek olsa da, net etki aşağı yönlüdür. Bu, özellikle yüksek TRY faiz rejimlerinde belirgindir.

Belirsizlik (SE): Call’larda MC_SE ≈ 0.0004–0.0080 TRY ve Göreli SE ≈ %0.01–%0.35 mertebesindedir. 1Y ATM örneğinde, Vasicek tahmini ≈ 9.706 ve SE ≈ 0.0077 olup, 3.19 TRY düzeyindeki GK–Vasicek farkı SE’nin katbekat üzerindedir (istatistiksel olarak çok net).

3.3 Put Fiyatları (GK vs. Vasicek)

• Kısa vade (1 ay): ATM’de ≈ +%4–%5 yukarı; paradan uzaklaştıkça ≈ +%2–%5.

• 3–6 ay: Aralık ≈ +%12–%133.

• 1 yıl: ≈ +%167–%799 gibi çok büyük yüzde farkları görülebilir.

Küçük Payda Uyarısı: Bu çok yüksek yüzde farklar, çoğu kez GK temelinin çok küçük olmasından kaynaklanır (ör. 1Y ATM GK put ≈ 0.027 TRY iken Vasicek ≈ 0.245 TRY). Düzey farkı ≈ 0.218 TRY ile ekonomik açıdan kayda değerolmakla birlikte, “büyüklük sırası” algısı yaratacak kadar devasa değildir; yüzdeler sadece paydanın küçüklüğü nedeniyle şişmektedir. Bu nedenle raporlamada düzey farkları ve %95 GA önceliklidir; yüzdeler ikincil bilgi olarak verilmelidir.